冲到家里打人情节严重的构成故意伤害罪。
《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条殴打他人的,或者故意伤害他人身体的,处5日以上10日以下拘留,并处200元以上500元以下罚款;情节较轻的,处5日以下拘留或者500元以下罚款。有下列情形之一的,处10日以上15日以下拘留,并处500元以下罚款。有下列情形之一的,处10日以上15日以下拘留,并处500元以上1000元以下罚款:
(一)结伙殴打、伤害他人的;
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(二)殴打、伤害残疾人、孕妇、不满14周岁的人或者60周岁以上的人的;
(三)多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。